ISOMETRICOS
Isometría matemáticamente
La vista isométrica está basada en una grilla rotada, vista a una elevación determinada, lo cual le da una forma de diamante a la grilla como se puede ver abajo. Esto provee una representación en tres dimensiones, pero sin perspectiva, de un objeto o varios; y es particularmente adecuado para modelos de ingeniería
Isometría matemáticamente
La vista isométrica está basada en una grilla rotada, vista a una elevación determinada, lo cual le da una forma de diamante a la grilla como se puede ver abajo. Esto provee una representación en tres dimensiones, pero sin perspectiva, de un objeto o varios; y es particularmente adecuado para modelos de ingeniería
. 
Tradicionalmente, la vista isométrica esta basada en un ángulo de 30°, sin embargo, en una pantalla de computadora este ángulo le dará una apariencia irregular y desprolija a la línea diagonal; como se puede ver en el diagrama de abajo. Por este motivo, es usado un ángulo de aproximadamente 26.565°, ya que crea una línea prolija y definida.Por supuesto, que esta cifra mágica de 26.565° es prácticamente inútil cuando se dibuja a mano. Sólo necesitas concentrarte en el principio para dibujar líneas: un pixel arriba y dos hacia el costado. Si, por el contrario, estás tratando de usar una textura o algo que se superpone sin dibujarlo isométricamente, entonces esta figura será importante cuando tengas que moverla para que tenga el mismo ngulo.
Los dos tipos de contrucción
Hay dos métodos de construcción principales para dibujar gráficos isométricos como se ilustra abajo. El tipo A (rojo) usa una línea de 3 pixeles en las esquinas delanteras, y el tipo B (verde) no lo hace.
Ahora, si solamente estás planeando dibujar un objeto simple, cualquiera de los dos métodos está bien. Probablemente te favorezca el tipo A, porque le da una iluminación más nítida y limpia y conserva las proporciones de las caras de los lados. Sin embargo, si planeas hacer series de objetos o ubicarlos en una grilla, entonces deberías utilizar el tipo B, porque de otro modo terminarás con líneas aserradas y feas, como se ilustra abajo.
Las tres flechas señalan algunas de las pequeñas fallas que de otro modo aparecerían como una línea recta. Con el tipo B no hay tal problema y se obtiene un borde lindo y prolijo, y la grilla tendrá líneas claras.
Hay varias opciones para sombrear, iluminar y contornear. La imagen animada de abajo muestra unas combinaciones básicas. La decisión sobre cuál utilizar depende del estilo de gráfico que estés tratando de crear.
Construyendo una grilla
Como se explicó previamente, el tipo B es el mejor método para hacer gráficos basados en una grilla o un mosaico. Ahora, es bastante directo dibujar líneas diagonales entrecruzadas con los ángulos correctos, pero es menos obvio, cómo hacer que estas encajen en un mosaico.
Para que un mosaico encaje correctamente, las líneas negras sólo deberían ser utilizadas en dos de los lados de cada cuadrado (o de la forma de diamante). La animación de arriba muestra cómo las formas de los mosaicos son producidas para esa grilla. La animación de abajo muestra cómo encajan las figuras en forma de mosaico. Es importante darse cuenta de que las esquinas laterales derecha e izquierda de los mosaicos miden 2 pixeles de alto.
Esta imagen sumamente ampliada muestra los puntos de contacto y el doble alto de las esquinas derecha e izquierda de los mosaicos, tal como lo había mencionado.
Abajo hay un par de imágenes que te podrían ser útiles. Una, es una grilla isométrica básica y la otra es un motivo rectangular que puede ser utilizado para crear una grilla isométrica rellenando un área.
Construcción de formas básicas Los siguientes son todos ejemplos de varias formas y construcciones en forma de bloque:
Los círculos son la parte más tramposa de las imágenes isométricas. Mientras que un círculo horizontal o isométricamente plano es relativamente simple, aquellos como las ruedas y otros círculos verticales son mucho más complicados.
El círculo de arriba fue dibujado simplemente usando la herramienta “círculo” haciendo un óvalo. Los círculos de los costados, sin embargo, necesitan ser dibujados y luego inclinados (herramienta “skew”) para coincidir con la cara del cubo, tal como lo muestra la animación.
Fredy Alexander Gomez Vasquezhttp://www.solophotoshop.com/Articulo-Graficos-Isometricos-1--c-99.html
Grupo de isometría del espacio euclídeo [editar]En el espacio euclídeo podemos definir varias operaciones que no alteran las distancias. Así por ejemplo si considreamos un objeto dentro del espacio euclídeo podemos transportarlo a otra posición y cambiar su orientación. Así el grupo de isometría está formado por:
Las traslaciones o conjunto de aplicaciones de la forma:
Las rotaciones, que pueden representarse matemáticamente el conjunto de aplicaciones de la forma: , donde es una matriz de determinante 1 que cumple:
A estas transformaciones podemos sumarle una transformación más abstracta que no podemos realizar con objetos físicos reales pero sí abstractametne sobre conjuntos del espacio, formada por:
Las reflexiones y las composiciones de diversas reflexiones. Una reflexión puede representarse por una matriz de determinante -1.
El conjunto de todas las rotaciones y reflexiones forma un subgrupo muy importante del grupo de isometrías, llamado grupo ortonormal y designado como está formado
Grupo de isometría de figuras geométricas [editar]
Transformaciones que forman el grupo diédrico D4Si una figura geométrica es finita, es decir, forma un conjunto acotado del espacio euclídeo, entonces el grupo de isometría no incluye ninguna traslación y por tanto su grupo de isometría es un subgrupo del espacio . Si la figura presenta sólo un número finito de (hiper)planos de simetría entronces el grupo de isometría será un grupo finito.
Grupo de isometría de un polígono regular [editar]El grupo de isometría de un polígono regular de n lados está formado por n rotaciones y n reflexiones, llamado grupo diédrico , formado por 2n elementos expresables en forma matricial como:
Grupo de isometría de un círculo [editar]El grupo de isometría de un circulo al existir infinitos planos de simetría es precisamente y cualquier simetría de un círculo centrado en el origen puede ser representado por una matriz de la forma:
Donde y .
Grupo de isometría de un rectángulo [editar]El grupo de isometría de un rectángulo, que no sea un cuadrado, se llama grupo de Klein y está formado por cuatro elementos: rotación de 180º, reflexión según el eje de simetría vertical, reflexión el eje de simetría horizontal y la identidad (rotación de 0º).
Grupo de isometría de espacios con producto interno [editar]La distancia en ciertos espacios métricos puede definirse a partir de la norma inducida por un producto interno o forma cuadrática métrica. Un ejemplo de esto son las variedades de Riemann.
De ese modo cualquier aplicación entre variedades de Riemann en sí misma que mantenga inalterado el producto interno de dos campos vectoriales es de hecho una isometría. Eso permite generalizar el concepto de isometría incluso a espacios que no tienen una distancia bien definida, como las variedades pseudoriemannianas. En una variedad pseudoriemanniana una isometría es una transformación o aplicación que mantiene el producto interno de dos vectores.
Grupo de isometría en teoría de la relatividad [editar]En la teoría de la relatividad un espacio-tiempo se representa por una variedad pseudoriemanniana. Esta variedad en el caso de la teoría especial, puede tener un grupo de isometría continuo dado por un grupo de Lie de dimensión menor o igual que diez. La dimensión de este grupo de isometría coincide con el número de vectores de Killing linealmente independiente que admite el tensor métrico de la variedad pseudoriemanniana que define la forma y propiedades básicas del espacio-tiempo.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_isometr%C3%ADa"
Fredy Alexander Gomez Vasquez
Tradicionalmente, la vista isométrica esta basada en un ángulo de 30°, sin embargo, en una pantalla de computadora este ángulo le dará una apariencia irregular y desprolija a la línea diagonal; como se puede ver en el diagrama de abajo. Por este motivo, es usado un ángulo de aproximadamente 26.565°, ya que crea una línea prolija y definida.Por supuesto, que esta cifra mágica de 26.565° es prácticamente inútil cuando se dibuja a mano. Sólo necesitas concentrarte en el principio para dibujar líneas: un pixel arriba y dos hacia el costado. Si, por el contrario, estás tratando de usar una textura o algo que se superpone sin dibujarlo isométricamente, entonces esta figura será importante cuando tengas que moverla para que tenga el mismo ngulo.
Los dos tipos de contrucción
Hay dos métodos de construcción principales para dibujar gráficos isométricos como se ilustra abajo. El tipo A (rojo) usa una línea de 3 pixeles en las esquinas delanteras, y el tipo B (verde) no lo hace.
Ahora, si solamente estás planeando dibujar un objeto simple, cualquiera de los dos métodos está bien. Probablemente te favorezca el tipo A, porque le da una iluminación más nítida y limpia y conserva las proporciones de las caras de los lados. Sin embargo, si planeas hacer series de objetos o ubicarlos en una grilla, entonces deberías utilizar el tipo B, porque de otro modo terminarás con líneas aserradas y feas, como se ilustra abajo.
Las tres flechas señalan algunas de las pequeñas fallas que de otro modo aparecerían como una línea recta. Con el tipo B no hay tal problema y se obtiene un borde lindo y prolijo, y la grilla tendrá líneas claras.
Hay varias opciones para sombrear, iluminar y contornear. La imagen animada de abajo muestra unas combinaciones básicas. La decisión sobre cuál utilizar depende del estilo de gráfico que estés tratando de crear.
Construyendo una grilla
Como se explicó previamente, el tipo B es el mejor método para hacer gráficos basados en una grilla o un mosaico. Ahora, es bastante directo dibujar líneas diagonales entrecruzadas con los ángulos correctos, pero es menos obvio, cómo hacer que estas encajen en un mosaico.
Para que un mosaico encaje correctamente, las líneas negras sólo deberían ser utilizadas en dos de los lados de cada cuadrado (o de la forma de diamante). La animación de arriba muestra cómo las formas de los mosaicos son producidas para esa grilla. La animación de abajo muestra cómo encajan las figuras en forma de mosaico. Es importante darse cuenta de que las esquinas laterales derecha e izquierda de los mosaicos miden 2 pixeles de alto.
Esta imagen sumamente ampliada muestra los puntos de contacto y el doble alto de las esquinas derecha e izquierda de los mosaicos, tal como lo había mencionado.
Abajo hay un par de imágenes que te podrían ser útiles. Una, es una grilla isométrica básica y la otra es un motivo rectangular que puede ser utilizado para crear una grilla isométrica rellenando un área.
Construcción de formas básicas Los siguientes son todos ejemplos de varias formas y construcciones en forma de bloque:
Los círculos son la parte más tramposa de las imágenes isométricas. Mientras que un círculo horizontal o isométricamente plano es relativamente simple, aquellos como las ruedas y otros círculos verticales son mucho más complicados.
El círculo de arriba fue dibujado simplemente usando la herramienta “círculo” haciendo un óvalo. Los círculos de los costados, sin embargo, necesitan ser dibujados y luego inclinados (herramienta “skew”) para coincidir con la cara del cubo, tal como lo muestra la animación.
Fredy Alexander Gomez Vasquezhttp://www.solophotoshop.com/Articulo-Graficos-Isometricos-1--c-99.html
Grupo de isometría del espacio euclídeo [editar]En el espacio euclídeo podemos definir varias operaciones que no alteran las distancias. Así por ejemplo si considreamos un objeto dentro del espacio euclídeo podemos transportarlo a otra posición y cambiar su orientación. Así el grupo de isometría está formado por:
Las traslaciones o conjunto de aplicaciones de la forma:
Las rotaciones, que pueden representarse matemáticamente el conjunto de aplicaciones de la forma: , donde es una matriz de determinante 1 que cumple:
A estas transformaciones podemos sumarle una transformación más abstracta que no podemos realizar con objetos físicos reales pero sí abstractametne sobre conjuntos del espacio, formada por:
Las reflexiones y las composiciones de diversas reflexiones. Una reflexión puede representarse por una matriz de determinante -1.
El conjunto de todas las rotaciones y reflexiones forma un subgrupo muy importante del grupo de isometrías, llamado grupo ortonormal y designado como está formado
Grupo de isometría de figuras geométricas [editar]
Transformaciones que forman el grupo diédrico D4Si una figura geométrica es finita, es decir, forma un conjunto acotado del espacio euclídeo, entonces el grupo de isometría no incluye ninguna traslación y por tanto su grupo de isometría es un subgrupo del espacio . Si la figura presenta sólo un número finito de (hiper)planos de simetría entronces el grupo de isometría será un grupo finito.
Grupo de isometría de un polígono regular [editar]El grupo de isometría de un polígono regular de n lados está formado por n rotaciones y n reflexiones, llamado grupo diédrico , formado por 2n elementos expresables en forma matricial como:
Grupo de isometría de un círculo [editar]El grupo de isometría de un circulo al existir infinitos planos de simetría es precisamente y cualquier simetría de un círculo centrado en el origen puede ser representado por una matriz de la forma:
Donde y .
Grupo de isometría de un rectángulo [editar]El grupo de isometría de un rectángulo, que no sea un cuadrado, se llama grupo de Klein y está formado por cuatro elementos: rotación de 180º, reflexión según el eje de simetría vertical, reflexión el eje de simetría horizontal y la identidad (rotación de 0º).
Grupo de isometría de espacios con producto interno [editar]La distancia en ciertos espacios métricos puede definirse a partir de la norma inducida por un producto interno o forma cuadrática métrica. Un ejemplo de esto son las variedades de Riemann.
De ese modo cualquier aplicación entre variedades de Riemann en sí misma que mantenga inalterado el producto interno de dos campos vectoriales es de hecho una isometría. Eso permite generalizar el concepto de isometría incluso a espacios que no tienen una distancia bien definida, como las variedades pseudoriemannianas. En una variedad pseudoriemanniana una isometría es una transformación o aplicación que mantiene el producto interno de dos vectores.
Grupo de isometría en teoría de la relatividad [editar]En la teoría de la relatividad un espacio-tiempo se representa por una variedad pseudoriemanniana. Esta variedad en el caso de la teoría especial, puede tener un grupo de isometría continuo dado por un grupo de Lie de dimensión menor o igual que diez. La dimensión de este grupo de isometría coincide con el número de vectores de Killing linealmente independiente que admite el tensor métrico de la variedad pseudoriemanniana que define la forma y propiedades básicas del espacio-tiempo.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_isometr%C3%ADa"
Fredy Alexander Gomez Vasquez
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